Question

19．已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O是坐标原点．
（Ⅰ）求使$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$取得最小值时$\overrightarrow{OR}$的坐标的坐标；
（Ⅱ）对于（1）中的点R，求$\overrightarrow{RA}$与$\overrightarrow{RB}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用坐标法求出$\overrightarrow{OR}$的坐标，结合向量数量积的定义转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解．
（Ⅱ）根据向量数量积的应用进行求解即可．

解答 解（1）由题意，设$\overrightarrow{OR}$=t$\overrightarrow{OP}$=（2t，t），
则$\overrightarrow{RA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OR}$=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{RB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OR}$=（5-2t，1-t）．
所以$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8，
所以当t=2时，$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$最小，即$\overrightarrow{OR}$=（4，2）．
（2）设向量$\overrightarrow{RA}$与$\overrightarrow{RB}$的夹角为θ，由（1）得$\overrightarrow{RA}$=（-3，5），$\overrightarrow{RB}$=（1，-1），
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{RA}•\overrightarrow{RB}}{|\overrightarrow{RA}||\overrightarrow{RB}|}$=$\frac{-3-5}{\sqrt{9+25}•\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题主要考查向量夹角和向量数量积的应用，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．