Question

15．已知命题p：方程$\frac{x^2}{t+1}+\frac{y^2}{3-t}=1$所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t²-（a-1）t-a＜0．
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由方程$\frac{x^2}{t+1}+\frac{y^2}{3-t}=1$所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，可得3-t＞t+1＞0，解出即可得出．
（2）由于命题P是命题q的充分不必要条件，可得-1＜t＜1是不等式t²-（a-1）t-a＜0解集的真子集，解出即可得出．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{t+1}+\frac{y^2}{3-t}=1$所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，∴3-t＞t+1＞0，
解得：-1＜t＜1．
（2）∵命题P是命题q的充分不必要条件，
∴-1＜t＜1是不等式t²-（a-1）t-a＜0解集的真子集，
因方程t²-（a-1）t-a=0的两根为-1，-a．
故只需a＞1．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解法、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．