Question

4．已知方程x²+y²-2（t+3）+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，回答下列问题：
（1）t为何值时，方程表示圆？
（2）当方程表示圆时，t取何值时圆的面积最大？

Answer 1

分析 （1）方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆时D²+E²-4F＞0，由此能求出t∈（-7，1）时，方程表示圆．
（2）圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，半径r²=$\frac{1}{2}$（D²+E²-4F），由此求出r²=-14t²+12t+2，从而能求出结果．

解答 解：（1）∵方程x²+y²-2（t+3）+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示圆，
∴[-2（t+3）]²+[2（1-4t²）]²-4（16t⁴+9）＞0，
整理，得7t²-6t-1＜0，
解得-7＜t＜1．
∴t∈（-7，1）时，方程表示圆．
（2）圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
半径r²=$\frac{1}{2}$（D²+E²-4F），
本题中，D=-2（t+3），E=2（1-4t²），F=16t⁴+9
则D²+E²-4F=4（t+3）²+4（1-4t²）²-64t⁴-36
=-28t²+24t+4，
r²=-14t²+12t+2，
当t=$\frac{3}{7}$时，r²有最大值$\frac{32}{7}$，此时圆的面积最大
∴t=$\frac{3}{7}$时，圆的面积最大．

点评 本题考查方程表求圆的条件的求法，考查圆的面积最大时实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．