Question

E为圆内两弦AB和CD的交点，过点E作AD的平行线交BC的延长线于点F．
（1）求证：△EFC∽△BFE；
（2）若AE=

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EB，DE=6，CE=5，延长BA至点P，PA=AE且PD切圆于点D，求PD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由EF∥AD，可得∠ADC=∠FEC，进而由圆周角定理得到∠ADC=∠ABC（即∠EBF），再由∠EFC=∠BFE，由AA得到EFC∽△BFE；
（2）利用相交弦定理，结合AE=

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2

EB，DE=6，CE=5，PA=AE，求出PA，PB的长，进而根据切割线定理得到答案．

解答： 证明：（1）∵EF∥AD，
∴∠ADC=∠FEC，
又∵∠ADC=∠ABC（∠EBF），
∴∠EBF=∠FEC，
又∵∠EFC=∠BFE，
∴EFC∽△BFE；
解：（2）∵AE=

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2

EB，DE=6，CE=5，
由相交弦定理：AE•BE=CE•DE可得：
2AE²=30，
∴PA=AE=

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，PB=4AE=4

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，
又∵PD切圆于点D，
∴PD²=PA•PB=60，
故PD=2

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点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定，相交弦定理，切割线定理，是平面几何证明的综合应用，难度中档．