【题目】若数列满足则称为数列.记

（1）若为数列,且试写出的所有可能值；

（2）若为数列，且求的最大值；

（3）对任意给定的正整数是否存在数列使得？若存在，写出满足条件的一个数列；若不存在，请说明理由.

【题目】设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”E为:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等.

（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；

（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l 与椭圆交于A,B两点，求证:为定值（为坐标原点）；

（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

【题目】如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且侧棱 其中为的交点.

（1）求点到平面的距离；

（2）在线段上，是否存在一个点，使得直线与垂直？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

【题目】已知函数的图象过点和点.

（1）求函数的最大值与最小值；

（2）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象；已知点，若函数的图象上存在点，使得，求函数图象的对称中心.

【题目】设为数列的前n项和, 且满足为常数.

（1）若，求的值；

（2）是否存在实数 ，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）当时，若数列满足，且，令，求数列的前n项和.

【题目】设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”E为:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等.

（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；

（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l 与椭圆交于A,B两点，求证:为定值（为坐标原点）；

（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

【题目】已知函数的图象过点和点.

（1）求函数的最大值与最小值；

（2）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象；已知点，若函数的图象上存在点，使得，求函数图象的对称中心.

【题目】已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。

（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。

（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。

（3）记集合存在常数，对任意的，有成立，证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。

【题目】教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求的值；

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。当变化时，求面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由.

【题目】如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.

（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）

（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示）