【题目】在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩，且满足.

（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；

（2）设四位同学中恰有位同学的考试成绩为96分，求随机变量的概率分布列及数学期望.

【题目】已知函数.

（1）若函数与有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求的值；

（2）记.

①若在区间（为自然对数底数）上至少存在一点，使得成立，求的取值范围；

②若函数图象存在两条经过原点的切线，求的取值范围.

【题目】设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求数列的通项公式；

②若数列满足，且，求证：数列为等比数列.

【题目】某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中百米，百米，半圆形池塘的半径为1百米，圆心与线段的中点重合，半圆与的左侧交点为.该农场计划分别在和上各选一点，修建道路，要求与半圆相切.

（1）若，求该道路的总长；

（2）若为观光道路，修建费用是4万元/百米，为便道，修建费用是1万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值.

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.

①求的值；

②求证：直线的交点在定直线上.

【题目】在平面直角坐标系中，已知是圆的直径.若与圆外离的圆上存在点，连接与圆交于点，满足，则半径的取值范围是_________.

【题目】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

【题目】在四棱锥中，底面为正方形，.

（1）证明：面⊥面；

（2）若与底面所成的角为， ，求二面角的余弦值．

【题目】某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数与仰卧起坐

个数之间的关系如下：；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：

（1）计算值；

（2）以此样本的频率作为概率，求

①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于的概率；

②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.

【题目】已知数列,,且对任意n恒成立．

（1）求证:();

（2）求证:().