【题目】已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上一动点，定点，求△面积的最大值；

（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点.证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点.

【题目】已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．

【题目】如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点 的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（ ）

A. B.

C. D.

【题目】有下列四个命题：（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；（2）不等式：的解集为；（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为.则正确命题的序号为_________________.

【题目】某人某天的工作是：驾车从地出发，到两地办事，最后返回地，三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：

若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案：

方案甲：上午从地出发到地办事，然后到达地，下午在地办事后返回地；

方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地， 办事后返回地.

（1）设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；

（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？

【题目】如图，三棱柱中，，.

（1）证明：；

（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

A.120种B.132种C.144种D.156种

将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________．

（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；

（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

【题目】已知数列和都是等差数列，.数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）证明：是等比数列；

（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列，使得对任意，都有成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由.