【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

【题目】如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.

【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.

试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.

焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;

当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：

, 所以:，, 则：

. 同理：, 因为

, 所以, 即, 由题意知, 所以

， 设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.

考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.

【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．

【题目】随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．

（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；

（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；

（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．

【题目】如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.

(1)求的长度；

(2)求二面角的余弦值.

A.已知随机变量服从正态分布，，则．

B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．

D.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．

A.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

B.甲的不同的选法种数为15

C.已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是

D.乙、丙两名同学都选物理的概率是

（1）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

（2）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，求这2个学生性别不同的概率.

附：

A.B.C.D.

A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.

附：