Question

13．如图所示，一平直绝缘斜面足够长，与水平面的夹角为θ；空间存在着磁感应强度大小为B，宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直斜面向下；一个质量为m、电阻为R、边长为a的正方形金属线框沿斜面以速度 v 向上滑动进入磁场，线框向上滑动离开磁场时的速度刚好是刚进入磁场时速度的$\frac{1}{4}$，离开磁场后线框能沿斜面继续滑行一段距离，然后沿斜面滑下并匀速进入磁场．已知正方形线框与斜面之间的动摩擦因数为μ．求：
（1）线框沿斜面下滑过程中匀速进入磁场时的速度v₂．
（2）线框在沿斜面上滑阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）线框沿斜面下滑过程中匀速进入磁场时，受重力、支持力、安培力和摩擦力，根据平衡条件列式求解即可；
（2）先对离开磁场后的上滑过程和下滑过程分别运用动能定理列式求解离开磁场的速度，然后根据能量守恒定律列式求解线框在沿斜面上滑阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）线框在沿斜面下滑匀速进入磁场的瞬间有：
$mgsinθ=μmgcosθ+\frac{{{B^2}{a^2}{v_2}}}{R}$，
解得：${v_2}=\frac{（mgsinθ-μmgcosθ）R}{{{B^2}{a^2}}}$；
（2）由动能定理，线框从离开磁场到滑动到最高点的过程中，有：
-（mgsinθ+μmgcosθ）s=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，
线框从最高点滑下匀速进入磁场的瞬间：
（mgsinθ-μmgcosθ）s=$\frac{1}{2}$mv₂²-0，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{mgsinθ-μmgcosθ}}$v₂，
由能量守恒定律，有：$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²=Q+（mgsinθ+μmgcosθ）（a+L）；
已知速度：v₀=4v₁，解得：Q=$\frac{15{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{a}^{4}}$（sin²θ-μcos²θ）-（mgsinθ+μmgcosθ）（a+L）；
答：（1）线框沿斜面下滑过程中匀速进入磁场时的速度v₂为$\frac{（mgsinθ-μmgcosθ）R}{{B}^{2}{a}^{2}}$；
（2）线框在沿斜面上滑阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q为$\frac{15{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{a}^{4}}$（sin²θ-μcos²θ）-（mgsinθ+μmgcosθ）（a+L）．

点评 本题关键明确线框的运动规律，然后选择恰当的过程运用动能定理、能量守恒定律和平衡条件列式求解，不难．