Question

12．如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直平面内的光滑半圆轨道BC在B处平滑连接，B、C分别为半圆轨道的最低点和最高点．一个质量m=0.1kg的小物体P被一根细线拴住放在水平轨道上，细线的左端固定在竖直墙壁上．此时P到B点的距离x₀=0.5m，在墙壁和P之间夹一根被压缩的轻弹簧（弹簧的压缩量小于x₀）．物体P与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，半圆轨道半径R=0.4m．现将细线剪断，P被弹簧向右弹出后滑上半圆轨道，并恰好能经过C点．g取10m/s²．求：
（1）小物体P到达C点的速度大小；
（2）小物体P经过B点时对轨道的压力；
（3）细线未剪断时弹簧的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）根据P恰好能经过C点得出C速度，根据P从B到C的过程中机械能守恒求解经过B点时的速度；
（2）再运用牛顿第二定律求解经过B点时对轨道的压力．
（3）从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒求解．

解答 解：（1）P恰好能经过C点，设其速度为v_c，
由向心力公式有$mg=m\frac{v_c^2}{R}$
解得${v_c}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}=2m/s$   
（2）P从B到C的过程中机械能守恒，设P经过B点时的速度为v_B，则有$mg×2R+\frac{1}{2}mv_C^2=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${v_B}=\sqrt{4gR+v_C^2}=\sqrt{4×10×0.4+{2^2}}=2\sqrt{5}m/s$
设小球刚过B时受到圆轨道的支持力为N_B，由向心力公式有${N_B}-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
解得  ${N_B}=mg+m\frac{v_B^2}{R}=0.1×10+0.1×\frac{{{{（2\sqrt{5}）}^2}}}{0.4}=6N$
由牛顿第三定律可得，
物体刚过B点时对轨道的压力大小为6N，方向竖直向下．  
（3）设细线剪断前弹簧的弹性势能为E_P．从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒可得${E_P}-μmg{x_0}=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${E_P}=μmg{x_0}+\frac{1}{2}mv_B^2=0.2×0.1×10×0.5+\frac{1}{2}×0.1×{（2\sqrt{5}）^2}=1.1J$
答：（1）小物体P到达C点的速度大小是2m/s；
（2）小物体P经过B点时对轨道的压力是6N，方向向下；
（3）细线未剪断时弹簧的弹性势能是1.1J．

点评 本题是能量守恒与牛顿运动定律的综合应用，来处理圆周运动问题．基础题．利用功能关系解题的优点在于不用分析复杂的运动过程，只关心初末状态即可，平时要加强训练深刻体会这一点．