Question

14．如图甲，两个绝缘的足够大的挡板M、N竖直放置，两板间存在一个竖直向上的匀强电场，另外有一个垂直纸面的匀强磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的图象如图乙所示（以垂直纸面向外的方向为正，B₀和T₀为已知量）．在t=$\frac{1}{8}$T₀时刻，两个完全相同带正电的小球A、B以相同大小的初速度v₀分别从紧贴M、N两板的位置水平射入电磁场中，在t=$\frac{5}{8}$T₀两球发生第一次碰撞，假设两个小球之间、小球与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，且每次碰撞小球所带电荷量不变，已知小球的比荷为$\frac{32π}{3{B}_{0}{T}_{0}}$，且小球所受电场力大小等于重力的大小，重力加速度为g，不考虑空气阻力及磁场变化产生的电场，则

（1）求电场强度E的大小；
（2）画出两个小球的运动轨迹并求出两板间距d的大小；
（3）求出两个小球所有的碰撞时刻．

Answer 1

分析 （1）由小球所受电场力大小等于重力求解；
（2）按磁感应强度分阶段进行受力分析，进而得到其运动方程，从而对三个阶段进行叠加得到d的表达式进而求解；
（3）求出小球运动的周期及小球碰撞规律，进而得到所有碰撞时间．

解答 解：（1）由于小球所受电场力大小等于重力，即qE=mg，所以，$E=\frac{mg}{q}=\frac{3{B}_{0}{T}_{0}g}{32π}$；
（2）在磁感应强度为零时，小球所受合外力为零，故$\frac{1}{8}{T}_{0}＜t＜\frac{1}{4}{T}_{0}$，小球都做匀速直线运动，运动位移${s}_{1}=\frac{1}{8}{v}_{0}{T}_{0}$；
$\frac{1}{4}{T}_{0}＜t＜\frac{1}{2}{T}_{0}$，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即${B}_{0}{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}=\frac{{3v}_{0}{T}_{0}}{32π}$，$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{3{T}_{0}}{16}$；
则在$\frac{1}{4}{T}_{0}＜t＜\frac{1}{2}{T}_{0}$时间内小球转过$n=\frac{\frac{1}{4}{T}_{0}}{\frac{3}{16}{T}_{0}}=\frac{4}{3}$个圆周；
$\frac{1}{2}{T}_{0}＜t＜\frac{5}{8}{T}_{0}$，小球做匀速直线运动，位移大小${s}_{2}=\frac{1}{8}{v}_{0}{T}_{0}$；
在$t=\frac{5}{8}{T}_{0}$时，两个小球在P点相碰，因两小球发生弹性碰撞，则在P点碰撞后发生速度交换，此后开始做周期性运动，轨迹如图，

由几何关系可得d=2（s₁+rcos30°-s₂cos60°）=$2×（\frac{1}{8}{v}_{0}{T}_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3{v}_{0}{T}_{0}}{32π}-\frac{1}{2}×\frac{1}{8}{v}_{0}{T}_{0}）$=$\frac{1}{8}{v}_{0}{T}_{0}+\frac{3\sqrt{3}{v}_{0}{T}_{0}}{32π}$=$\frac{4π+3\sqrt{3}}{32π}{v}_{0}{T}_{0}$；
（3）经分析可知两小球运动周期$T′=2（\frac{5}{8}{T}_{0}-\frac{1}{8}{T}_{0}）={T}_{0}$，则碰撞时间$t=\frac{5}{8}{T}_{0}+n{T}_{0}（n=0，1，2，3，…）$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{3{B}_{0}{T}_{0}g}{32π}$；
（2）两板间距d的大小为$\frac{4π+3\sqrt{3}}{32π}{v}_{0}{T}_{0}$；
（3）两个小球所有的碰撞时刻为$\frac{5}{8}{T}_{0}+n{T}_{0}（n=0，1，2，3，…）$．

点评 带电粒子的运动问题，要先对粒子进行受力分析，然后利用牛顿第二定律得到运动方程，再根据边界条件求解．