Question

2．中国计划在2030年左右实现长征九号运载火箭首飞，从而实现载人登月，假设宇航员记录了登陆舱在月球表面附近做圆周运动的周期T，登陆舱在月球表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码，读数为F．已知引力常量为G．试求：
（1）月球的半径R；
（2）月球的密度ρ；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）登陆舱在月球表面着陆后，根据弹簧测力计的读数 F=mg_月以及g_月=R$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$结合求月球的半径R；
（2）登陆舱在月球表面做圆周运动，万有引力等于向心力，根据牛顿第二定律列式，可求得月球的质量，从而求出月球的密度ρ；
（3）月球的第一宇宙速度v是绕月球表面轨道运行的卫星的环绕速度，根据g_月=$\frac{{v}^{2}}{R}$求解．

解答 解：（1）根据F=mg_月及g_月=R$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球的半径为：R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
（2）登陆舱在月球表面做圆周运动，万有引力等于向心力，则得：G$\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
月球的密度为：ρ=$\frac{{M}_{月}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
解得月球的密度为：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（3）据g_月=$\frac{{v}^{2}}{R}$及R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
解得月球的第一宇宙速度为：v=$\frac{FT}{2πm}$
答：（1）月球的半径R为$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；
（2）月球的密度ρ为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度v为$\frac{FT}{2πm}$．

点评 对于卫星问题，关键是要记住两点：1、万有引力提供向心力；2、在星球表面，重力等于万有引力．