Question

9．有一宇宙飞船到了某行星上（该行星没有自转运动），以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得（　　）

• A． 该行星的半径为$\frac{vT}{π}$
• B． 该行星的平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． 该行星的质量为$\frac{{v}^{3}T}{πG}$
• D． 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 飞船绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供飞船做圆周运动所需要的向心力，知道该飞船的轨道半径与行星半径近似相等，由圆周运动知识展开讨论即可．

解答 解：A、据题知，该飞船的轨道半径与行星半径近似相等，设为r．根据线速度与周期的关系知 v=$\frac{2πr}{T}$可知，该行星的半径 r=$\frac{vT}{2π}$，故A错误；
BC、根据万有引力提供向心力，有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²可知，行星的质量 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，该行星的平均密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故B正确；
C、由B知行星的质量可以表示为M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，又由A知行星半径为：r=$\frac{vT}{2π}$，联立可得 M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故C错误；
D、由于该飞船接近行星赤道表面匀速飞行，所以该行星表面的重力加速度等于飞船的向心加速度，为 a=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{v}^{2}}{\frac{vT}{2π}}$=$\frac{2πv}{T}$．故D正确．
故选：BD

点评 知道圆周运动的线速度与周期的关系，能根据万有引力提供圆周运动向心力推导出描述圆周运动物理量的关系是解决此题的关键．