Question

1．如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m（M＞m），两物体都可看做质点，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L＜R．若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间的连线正好沿半径方向拉直，从静止开始增大圆盘的转速，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，圆盘旋转的角速度最大值ω₁；若把甲、乙两物体一起向圆盘的边缘平移，使乙位于圆盘的边缘，甲、乙之间的连线仍然沿半径方向拉直，再次从静止开始增大圆盘的转速，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，圆盘旋转的角速度最大值ω₂．则ω₁：ω₂（　　）

• A． $\sqrt{\frac{mR+MR-ML}{mL}}$
• B． $\sqrt{\frac{R}{L}}$
• C． $\sqrt{\frac{2R-L}{L}}$
• D． $\sqrt{\frac{M（R-L）}{mR}}$

Answer 1

分析 当角速度从0开始增大，乙所受的静摩擦力开始增大，当乙达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时乙靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，角速度越大，拉力越大，当拉力和甲的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值，同理可以求出把甲、乙两物体一起向圆盘的边缘平移，使乙位于圆盘的边缘时的最大角速度，进而求出比值关系．

解答 解：当绳子的拉力等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，有：
T+μmg=mLω₁²，
T=μMg．
所以有：ω₁=$\sqrt{\frac{μ（M+m）g}{mL}}$…①，
把甲、乙两物体一起向圆盘的边缘平移，当甲乙都达到最大静摩擦力时，圆盘转速最大，则有：
$μMg-T=M{{ω}_{2}}^{2}（R-L）$…②，
$μmg+T=m{{ω}_{2}}^{2}R$…③，
联立①②③解得：$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\sqrt{\frac{mR+MR-ML}{mL}}$，故A正确．
故选：A

点评 解决本题的关键知道当角速度达到最大时，绳子的拉力等于甲的最大静摩擦力，乙靠拉力和乙所受的最大静摩擦力提供向心力