Question

2．如图甲所示，长为L、间距为d的两金属板A、B水平放置，ab为两板的中心线，一个带电粒子以速度v₀从a点水平射入，沿直线从b点射出，若将两金属板接到如图乙所示的交变电压上，欲使该粒子仍能从b点以速度v₀射出，求：

（1）若t=0粒子从a点射入金属板，粒子在$\frac{T}{4}$内离开中心线的距离为多大？
（2）粒子从a点射入金属板的时刻应满足什么条件？
（3）交变电压的周期T应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）由竖直向的匀加速运动求和距离．
（2）根据题意可知，周期的整数倍应与水平飞出时的时间相等时，粒子仍能从b点以速度v₀射出；
（3）分析粒子在竖直方向上的运动情况，明确粒子在做往复运动，只需竖直方向的位移等0即可

解答 解：（1）粒子在$\frac{T}{4}$内离开中心线的距离为：y=$\frac{1}{2}a（\frac{1}{4}T）^{2}$ 又a=$\frac{qE}{m}$，E=$\frac{{U}_{0}}{d}$，解得：y=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{32md}$
（2）粒子进入电场的时间应为：$\frac{T}{4}，\frac{3T}{4}，\frac{5T}{4}$------即粒子进行电场时间为t=$\frac{2n-1}{4}T$（n=1，2.3．----）
（3）设经过n个周期运动后，能平行金属板射出，
则nT=$\frac{L}{{v}_{0}}$，T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，n=1，2，3，…．
粒子在$\frac{1}{4}T$内离开中心线的距离为y=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{32md}$，则运动过程中离开中心线的最大距离为${y}_{m}=\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$$＜\frac{d}{2}$，则T$≤2d\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$，
故n$≥\frac{L}{2d{v}_{0}}\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{2m}}$
所以粒子的周期应满足的条件为：T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，其中n为$≥\frac{L}{2d{v}_{0}}\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{2m}}$的整数．
答：（1）若t=0粒子从a点射入金属板，粒子在$\frac{T}{4}$内离开中心线的距离为$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{32md}$．
（2）粒子从a点射入金属板的时刻应满足进行电场时间为t=$\frac{2n-1}{4}T$（n=1，2.3．----）
（3）交变电压的周期T应满足T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，其中n为$≥\frac{L}{2d{v}_{0}}\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{2m}}$的整数．

点评 本题考查带电粒子在电场中运动的规律，要注意明确粒子在电场中的运动过程，特别是竖直方向上的运动分析．