Question

20．质量为m，电量为q的正离子以速度v₀从A点对着圆心进入一半径为R的金属圆筒中，如图所示，求B满足什么条件时该粒子与圆筒发生弹性碰撞后仍然从A点射出？（假设碰撞时电荷无迁移，且重力不计）

Answer 1

分析 根据题意明确粒子可能的运动情况，根据半径的通项式明确半径的可能值；再由洛仑兹力充当向心力可求得B的条件．

解答 解：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示．设粒子与圆筒内壁碰撞n次（n≥2），则经过n+1次圆弧后才能转回到A点，设每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2α=$\frac{2π}{n+1}$（这里是指磁场圆弧所对圆心角，而不是指轨迹圆弧所对圆心角）．
所对应的弦长为l=2Rsinα；
因轨迹圆的圆心角与所对应的磁场圆的圆心角与补，则可知：
2θ+2α=π；
θ=$\frac{π}{2}-α$=$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$；
则离子运动的半径为：
r=$\frac{\frac{l}{2}}{sinθ}$=$\frac{Rsinα}{cosα}$=Rtan（$\frac{（n-1）π}{2（n+1）}$）（n=2，3，…）
则由洛仑兹力充当向心力可得：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$可得：
B=$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）
答：要使粒子能经碰撞后从A点飞出，B应满足$\frac{mv}{qRtan（\frac{（n-1）π}{2（n+1）}）}$（n=2，3，…）．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，要注意正确分析可能的物理规律，利用几何关系求得半径的表达式，再由洛仑兹力充当向心力可求得B．