Question

13．汽车在水平直道上匀速行驶允许的最大速度档108km/h，如图所示，在A点正前方100m处有一个半径为20m的半圆形水平弯道．将汽车的刹车过程简化为滑动过程，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，汽车车胎与路面间的动摩擦因数为0.5，要使汽车能安全通过该路段，在半圆形水平弯道上行驶时，不考虑滚动摩擦力对汽车做圆周运动的影响，已知重力加速度g=10m/s²．求汽车从A点到B点的最短时间（结果保留两位小数）．

Answer 1

分析 当汽车进入弯道时恰好是最大静摩擦力提供向心力时，整个过程时间最短，从A到B先做匀速运动，再做匀减速运动，最后匀速圆周运动，三段时间相加即可求解．

解答 解：从B到C，根据牛顿第二定律得：$μmg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}①$
解得：$v=\sqrt{μgR}$=$\sqrt{0.5×10×20}$=10m/s
${v}_{0}^{\;}=108km/h=30m/s$
匀减速直线运动的加速度a，根据牛顿第二定律有：g=ma…②
解得：a=$μg=0.5×10=5m/{s}_{\;}^{2}$
匀减速直线运动的位移为：$x=\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$…③
代入数据得：$x=\frac{1{0}_{\;}^{2}-3{0}_{\;}^{2}}{2（-5）}=80m$
从A点开始先做匀速直线运动的位移为：${x}_{1}^{\;}=100-80=20m$
匀速时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}=\frac{20}{30}=0.67s$
匀减速时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{v-{v}_{0}^{\;}}{a}=\frac{10-30}{-5}=4s$
圆周运动时间为：${t}_{3}^{\;}=\frac{2πR}{v}=\frac{2×3.14×20}{10}=12.56s$
所以从A到B的最短时间为：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=0.67+4+12.56=17.23s$
答：汽车从A点到B点的最短时间为17.23s

点评 解决本题的关键是知道物体的运动过程，熟练运用运用匀变速直线运动的规律和圆周运动的关系式解题．