Question

4．电容器是一种重要的电学元件，基本工作方式就是充电和放电．由这种充放电的工作方式延伸出来的许多电学现象，使得电容器有着广泛的应用．如图1所示，电源与电容器、电阻、开关组成闭合电路．已知电源电动势为E，内阻不计，电阻阻值为R，平行板电容器电容为C，两极板间为真空，两极板间距离为d，不考虑极板边缘效应．
（1）闭合开关S，电源向电容器充电．经过时间t，电容器基本充满．
a．求时间t内通过R的平均电流$\overline{I}$；
b．请在图2中画出充电过程中电容器的带电量q随电容器两极板电压u变化的图象；并求出稳定后电容器储存的能量E₀；
（2）稳定后断开开关S．将电容器一极板固定，用恒力F将另一极板沿垂直极板方向缓慢拉开一段距离x，在移动过程中电容器电量保持不变，力F做功为W；与此同时，电容器储存的能量增加了△E．请推导证明：W=△E．要求最后的表达式用已知量表示．

Answer 1

分析 （1）a．电容器基本充满时，电容器两端电压等于电源的电动势，根据电容的定义 C=$\frac{Q}{U}$、U=E可以得出t内通过R的电荷量Q，再根据电流强度的定义 $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$ 可以解得平均电流
b．根据Q=CU，可知图象为经过坐标原点的直线，且U的最大值为E．
（2）极板在移动过程中板间场强不变，两极板间的相互作用力为恒力，求出恒力F′后，在根据功的定义式：W=F′x可以求出W；再根据（1）E₀的表达式就可以得出初、末状态电容器储存的能量，再求出△E，进而得证：W=△E．

解答 解：（1）a．设充电完毕电容器所带电量为Q，即时间t内通过电阻R的电量，此时电容器两端电
压等于电源的电动势，根据电容的定义   C=$\frac{Q}{U}$    U=E
根据电流强度的定义  $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$  解得平均电流 $\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$      
b．根据q=Cu，画出q-u图象如图1所示   
由图象可知，图线与横轴所围面积即为电容器储存的能量，
如图2中斜线部分所示
由图象求出电容器储存的电能  E₀=$\frac{1}{2}$EQ   将Q=CU、U=E代入
得：E₀=$\frac{1}{2}$CE²     
（2）设两极板间场强为  E′，两极板正对面积为S
根据 E′=$\frac{U}{d}$=$\frac{Q}{Cd}$，将 C=$\frac{S}{4kπd}$代入得：E′=$\frac{4kπQ}{S}$，可知极板在移动过程中板间场强不变，两极板间的相互作用力为恒力．两板间的相互作用可以看作负极板电荷处于正极板电荷产生的电场中，可知两板间的相互作用力F′=$\frac{1}{2}$E′Q                 
缓慢移动时有    F=F′
根据功的定义有   W=F′x=$\frac{1}{2}$E′Qx   将 E′=$\frac{4kπQ}{S}$代入              
得：W=$\frac{2kπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x                  
电容器增加的能量△E=$\frac{Q2}{2C′}$-$\frac{Q{\;}^{2}}{2C}$ 将 C=$\frac{S}{4kπd}$、C′=$\frac{S}{4Kπ（d+x）}$  代入
得：△E=$\frac{2KπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x               
所以W=△E．
答：（1）a．时间t内通过R的平均电流$\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$； 图象如图1所示  （b）．图象如图2所示；稳定后电容器储存的能量E₀=$\frac{1}{2}$CE²． 
        （2）W=△E

点评 此题难度较大，既考查了电容器的基本定义式C=$\frac{Q}{U}$，有考查在移动过程中极板间场强不变，两极板间的相互作用力为恒力，这个过程中做的功等于电容器储存的能量．