Question

13．卢瑟福在某次α粒子散射实验中，有一初速度为v₀的α粒子正对着金箔中某一金原子核运动，结果被反向弹回，已知在点电荷Q的电场中，电荷量为q的带电粒子在距离Q为r的点的电势能$W=\frac{{kQ{q_{\;}}}}{r}$，金原子电荷量Q，α粒子质量m_α，电荷量q．
（1）若该α粒子距离这个金核r₁时，其速度为v₁，加速度为a₁，则在距离这个金核r₂时，其速度v₂，加速度a₂各为多少？
（2）由题中条件可估算金原子核的直径，请用给定符号表示金原子核的直径．

Answer 1

分析 （1）根据库仑定律与牛顿第二定律，即可求解加速度大小；由能量守恒定律，结合动能与电势能的表达式，即可求解速度大小；
（2）根据能量守恒定律，结合α粒子减速为零时，两者间距即为金原子核的直径，从而即可求解．

解答 解：（1）由题意可知，距离这个金核r₁时，其速度为v₁，加速度为a₁，根据库仑定律，及牛顿第二定律，则有：a₁=$\frac{{F}_{1}}{m}$=$\frac{k\frac{Qq}{{r}_{1}^{2}}}{m}$=$\frac{kQq}{m{r}_{1}^{2}}$；
当距离这个金核r₂时，其速度v₂，根据库仑定律，及牛顿第二定律，则有：加速度a₂=$\frac{{F}_{2}}{m}$=$\frac{k\frac{Qq}{{r}_{2}^{2}}}{\frac{kQq}{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}}$=$\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}$；
（2）根据能量守恒定律，则有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{kQq}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{kQq}{{r}_{2}}$；
解得：v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+\frac{2{a}_{1}{r}_{1}（{r}_{2}-{r}_{1}）}{{r}_{2}}}$；
而$m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}=\frac{kQq}{{r}_{1}^{2}}$，
因此v₂=$\sqrt{\frac{3{a}_{1}{r}_{1}{r}_{2}-2{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}}}$；
根据动能转化为电势能时，两者间距即为金原子核的半径，即为：$\frac{1}{2}{m}_{α}{v}_{0}^{2}=\frac{kQq}{r}$；
解得：r=$\frac{2kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$；
因此金原子核的直径$\frac{4kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$；
答：（1）在距离这个金核r₂时，其速度=$\sqrt{\frac{3{a}_{1}{r}_{1}{r}_{2}-2{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}}}$，加速度是$\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}$；
（2）示金原子核的直径$\frac{4kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$．

点评 考查库仑定律与牛顿第二定律的应用，掌握动能与电势能的表达式内容，注意建立估算原子核的半径模型是解题的关键．