Question

4．玻尔理论成功的解释了氢光谱．电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑力作用下的匀速圆周运动．己知电子的电荷量为e，电子在第1轨道运动的半径为r₁．静电力常量为k．
（1）试计算电子绕氢原子核在第1轨道上做匀速圆周运动时的动能；
（2）玻尔认为氢原了处于不同的能量状态，对应着电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动．他发现，电子在第n轨道上运动时的轨道半径r_n=n²r₁，其中n为量子数，（即轨道序号）．
根据经典电磁理论，电子在第n轨道上运动时，氢原子的能量E_n为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和．理论证明，系统的电势能E_p和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以无穷远为电势能零点）．请根据以上条件完成下面的问题．
①电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n的表达式（用m，e，r₁和k表示）
②假设氢原子甲的核外电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=3的氢原子乙吸收并使其电离．不考虑跃迁或电离前后原子核所受的反冲，试求氢原子乙电离出的电子的动能．

Answer 1

分析 （1）根据库仑力提供向心力，结合圆周运动周期的公式，再由电流表达式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合动能与电势能表达式，从而确定各轨道的能级，最后由能量守恒定律，即可求解

解答 解：（1）设电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期为${T}_{1}^{\;}$，形成的等效电流大小为${I}_{1}^{\;}$，
根据牛顿第二定律有：$k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$
（2）①设电子在第1轨道上运动的氢原子的能量${E}_{1}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}+k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$
同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量${E}_{n}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{n}^{\;}}$
②电子从第2轨道跃迁到第1轨道释放的能量：$△E={E}_{2}^{\;}-{E}_{1}^{\;}=\frac{3k{e}_{\;}^{2}}{8{r}_{1}^{\;}}$
电子在第3轨道时氢原子的能量${E}_{3}^{\;}=\frac{1}{9}{E}_{1}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{18{r}_{1}^{\;}}$
设氢原子电离后具有的动能为${E}_{k}^{\;}$，根据能量守恒
${E}_{k}^{\;}={E}_{3}^{\;}+△E=\frac{23}{72}k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
答：（1）试计算电子绕氢原子核在第1轨道上做匀速圆周运动时的动能为$\frac{k{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{1}^{\;}}$；
（2）①电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n的表达式为${E}_{n}^{\;}=-k\frac{{e}_{\;}^{2}}{2{r}_{n}^{\;}}$（用m，e，r₁和k表示）
②氢原子乙电离出的电子的动能为$\frac{23}{72}k\frac{{e}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$．

点评 考查库仑定律，掌握牛顿第二定律的应用，注意原子核的电量与电子电量相等，同时各轨道的能量是解题的关键，还要掌握能量守恒定律的内容．