Question

4．如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B，金属导轨的上端与开关S、定值电阻R₁和电阻箱R₂相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g，现闭合开关S，将金属棒由静止释放．

（1）判断金属棒ab中电流的方向；
（2）若电阻箱R₂接入电路的阻值为R₂=2R₁，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁；
（3）当B=0.40T，L=0.50m，α=37°时，金属棒能达到的最大速度v_m随电阻箱R₂阻值的变化关系如图2所示．取g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．求定值电阻的阻值R₁和金属棒的质量m．

Answer 1

分析 （1）金属棒由静止释放沿导轨向下运动切割磁感线，根据右手定制判断感应电流的方向；
（2）以金属棒为研究对象，根据功能关系即可正确解答；
（3）当金属棒的速度达到最大时，有mgsinα=BIL成立，由此写出最大速度v_m和电阻R₂的函数关系，根据斜率、截距的物理意义即可正确解答．

解答 解：（1）由右手定则，金属棒ab中的电流方向为b到a
（2）由能量守恒，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热为：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²+Q
解得：Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv²
因R₂=2R₁，此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热为：
Q₁=$\frac{Q}{3}$=$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{1}{6}$mv²
（3）设最大速度为v，切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv
由闭合电路的欧姆定律有：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
从b端向a端看，金属棒受力如图：
金属棒达到最大速度时满足：
mgα-BIL=0
由以上三式得：v=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$R₂+$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}{R}_{1}$
由图象可知：斜率为k=$\frac{60-30}{2}$=15m/•Ω，纵截距为v₀=30m/s，得到：
$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}{R}_{1}$=v₀
$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}=k$
解得：R₁=2.0Ω   m=0.1kg
答：（1）金属棒ab中电流的方向为b到a；
（2）此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁为$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{1}{6}$mv²
（3）定值电阻的阻值R₁为2.0Ω，金属棒的质量m为0.1kg．

点评 本题考查电磁感应定律与电路和受力分析的结合，要注意明确电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合的题目，本题难点在于第三问，解题的关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系．