Question

12．在人类认识宇宙的过程中，有的科学家提出测量地球的质量，现通过测量得知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G则：
（1）地球的质量M
（2）地球上发射卫星的第一宇宙速度V
（3）若一卫星绕地球做匀速圆周运动，且卫星的公转周期为T，则它离地面的高度h．

Answer 1

分析 1、设有一质量为m的物体在地球表面绕地球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力即可求解地球质量．
2、根据万有引力充当向心力解速度
3、对h高空的卫星，根据万有引力提供向心力求解

解答 解：（1）在地球表面，重力等于万有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
所以：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）根据万有引力充当向心力知：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{R}$
解得：V=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
（3）根据万有引力充当向心力知：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$
得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的质量$\frac{g{R}^{2}}{G}$（2）地球上发射卫星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$（3）若一卫星绕地球做匀速圆周运动，且卫星的公转周期为T，则它离地面的高度$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，注意只能计算出中心天体的质量．