Question

8．一根长为L的细绳，一端拴在水平轴O上，另一端有一个质量为m的小球．现使细绳位于水平位置并且绷紧，如图所示．给小球一个瞬间的作用，使它得到一定的向下的初速度
（1）这个初速度至少多大，才能使小球绕O点在竖直面内做圆周运动？
（2）如果在轴O的正上方A点钉一个钉子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）问中的最小速度开始运动，当它运动到O点的正上方，细绳刚接触到钉子时，绳子的拉力多大？

Answer 1

分析 （1）恰好通过最高点，重力充当向心力，根据动能定理列式求解初速度；
（2）小球在最高点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，可根据牛顿第二定律列式求解拉力．

解答 解：（1）球恰好经过最高点P，速度取最小值，故只受重力，重力提供向心力：mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
设初速度为v₀，根据动能定理知-mgL=$\frac{1}{2}$mv²$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得v₀=$\sqrt{3gL}$
（2）当它运动到O点的正上方，速度大小仍为$\sqrt{gL}$，
半径变为$\frac{1}{3}$L，由牛顿运动定律知：
T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{3}L}$，
解得：T=2mg
答：（1）这个初速度至少为$\sqrt{3gL}$，才能使小球绕O点在竖直面内做圆周运动；
（2）如果在轴O的正上方A点钉一个钉子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）问中的最小速度开始运动，当它运动到O点的正上方，细绳刚接触到钉子时，绳子的拉力为2mg．

点评 本题小球做变速圆周运动，在最高点重力和拉力的合力提供向心力，同时结合动能定理列式求解．