Question

11．打桩机的重垂每次下落的高度差相同，铁桩开始在地表面没有进入泥土，第一次重垂落下将铁桩打入泥土的深度为20cm，已知泥土对于铁桩的阻力与进入泥土的深度成正比．问：
（1）打击第二次铁桩进入泥土的深度？
（2）打击第六次铁桩进入泥土的深度？
（3）打击第n次铁桩进入泥土的深度？

Answer 1

分析 （1）对第一次打击和第二次打击分别运用动能定理列式，求功时用的力平均值．
（2）再对第三次打击，运用动能定理列式，发现规律，得到打击第六次铁桩进入泥土的深度．
（3）运用归纳法，得到打击第n-1次，第n次铁桩进入泥土的深度．

解答 解：第一解法：设打击第一次铁桩泥土的深度为l₁=20×10^-2m=0.2m，打击两次铁桩进入泥土的深度为l₂，打击三次铁桩泥土的深度为l₃，…；泥土对铁桩的阻力为f=kl；每打击一次由重垂势能转化给铁桩的动能对泥土所做的功为W，根据题目所给定的条件，每次打击都是相同的．由动能定理，则可有下列各式：
（1）打击第一次铁桩时，有：W=$\frac{1}{2}$f₁l₁=$\frac{1}{2}$kl₁²
有：l₁=$\sqrt{\frac{2W}{k}}$=0.2m…①
打击二次铁桩时，有：2W=$\frac{1}{2}$f₂l₂=$\frac{1}{2}$kl₂²
有：l₂=2$\sqrt{\frac{W}{k}}$=0.2$\sqrt{2}$m…②
所以，打击第二次铁桩进入泥土的深度为：
△l₁=l₂-l₁=0.2（$\sqrt{2}$-1）m=8.28×10^-2m．
（2）由前面的①②式我们可以得到：
  3W=$\frac{1}{2}$f₃l₃=$\frac{1}{2}$kl₃² 有：l₃=$\sqrt{\frac{6W}{k}}$=0.2$\sqrt{3}$m…③
（n-1）W=$\frac{1}{2}$f_（n-1）l_（n-1）=$\frac{1}{2}$kl_n-1² 有：l_（n-1）=$\sqrt{\frac{2（n-1）W}{k}}$=0.2$\sqrt{n-1}$m…④
nW=f_n l_n=k l_n$_n^2$   有：l_n=$\sqrt{\frac{2nW}{k}}$=0.2$\sqrt{n}$  m…⑤
得到：△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁…⑥
由（6）式，代入问题②的条件有：△l₆=0.2×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{6-1}$）m=4.27×10^-2m
所以，打击第六次铁桩进入泥土的深度为：4.27×10^-2m．
（3）同理对于第n次打击铁桩进入泥土的深度△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁=0.2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$） m
第二解法：根据题意，铁桩每次对泥土所做的功相同，铁桩所受阻力是与进入的深度成正比的，则阻力是f-l图中通过原点的一条斜线，如图1所示．斜线与l 轴所围成的“面积”，就是阻力所做的功，“W”是每打击一次铁桩克服阻力所做的功．根据相似直角三角形的性质，其面积之比等于某一直角边的平方比．则打击一次、打击两次、打击三次、…打击n次铁桩进入泥土的深度之比为：

l₁：l₂：l₃：…l_n-1：l_n=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…$\sqrt{n-1}$：$\sqrt{n}$．
所以，得到打击第二次铁桩进入泥土的深度为：
△l₁=l₂-l₁=（$\sqrt{2}$-1）l₁=（$\sqrt{2}$-1）20×10^-2m=8.28×10^-2m．
同理，打击第六次铁桩进入泥土的深度为：△l₆=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$）20×10^-2m=4.27×10^-2m
第n次打击铁桩进入泥土的深度为：△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁．
答：（1）打击第二次铁桩进入泥土的深度是8.28×10^-2m．
（2）打击第六次铁桩进入泥土的深度是4.27×10^-2m．
（3）打击第n次铁桩进入泥土的深度是0.2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）m．

点评 本题所考查的是应用数学工具解决物理问题的能力．用数学图象法解答打桩问题，不仅使解答过程简化，且从图象中反映的物理量的关系也很清楚，这样有利用理解题目的物理意义．