Question

一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假设绳不可伸长，柔软且无弹性．质点从O点的正上方离O点距离为R的点，以水平速度抛出，试求：

    (1)轻绳刚刚伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？

(2)当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

Answer 1

【知识点】机械能守恒定律；牛顿第二定律；平抛运动；向心力．C2 D3 E3

【答案解析】(1)  (2)   解析：：（1）小球的运动可分为三个过程：
第一过程：小球做平抛运动．设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则V0t=Rsinθ，gt2=R-Rcosθ，其中V0=联立解得θ=，t=．
即轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为90°．
（2）第二过程：绳绷直过程．绳棚直时，绳刚好水平，如图所示．由于绳不可伸长，故绳绷直时，V0损失，小球仅有速度V⊥，且V⊥=gt=．
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动．设小球到达O点正下方时，速度为V′，根据机械能守恒守律有：mV/2=mV⊥2+mg•R
设此时绳对小球的拉力为T，则T-mg=m，
联立解得：T=mg．
故当小球到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为mg． 

【思路点拨】（1）先将平抛运动沿水平和竖直方向正交分解，根据位移公式列式求解；（2）细线刚刚绷紧时，将速度沿着细线方向和垂直细线方向正交分解，沿细线方向速度迅速减小为零，垂直细线方向速度不变，之后物体绕O点做变速圆周运动，机械能守恒，先求出最低点速度，再根据向心力公式和牛顿第二定律求解拉力．本题关键是将小球的运动分为三个过程进行分析讨论，平抛运动过程、突然绷紧的瞬时过程和变速圆周运动过程；然后根据对各段运用平抛运动位移公式、速度分解法则、机械能守恒定律和向心力公式列式求解．