Question

（2010?湖南模拟）如图，火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为在同一平面内的同方向的匀速圆周运动，已知火星轨道半径r₁=2.3×10¹¹m，地球轨道半径为r₂=1.5×10¹¹m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算火星与地球相邻两次相距最近的最短时间间隔约为（　　）

A．1年

B．2年

C．3年

D．4年

Answer 1

分析：根据万有引力提供向心力，列式可得周期的表达式，求得地球和火星的周期之比，这样可以解出火星的周期．两星转过的角度之差△θ=2π时，火星与地球相邻再次相距最近，从而求出时间．

解答：解：设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，火星的周期为T₁，地球的周期为T₂．
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则根据牛顿第二定律有
  G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
则得 T²=

4π2r3

GM

地球的周期为T₂=1年，则有(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3
火星的周期为T₁=1.8年
设经时间t两星又一次距离最近，
根据θ=ωt
则两星转过的角度之差
△θ=（

2π

T2

-

2π

T1

）t=2π
得t=2.3年≈2年．
故选B

点评：本题也可运用开普勒周期定律求解火星的运动周期．这种方法，很好理解，关键确定相距最近的条件．