Question

18．如图甲所示，在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN，P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直地放置，其俯视图如图乙所示．已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m，极板本身的厚度不计，极板长均为L=0.2m，P、Q之间以及M、N之间的电压都是U=6.0×10²V．金属板右侧为竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=5×10²T，磁场区域足够大．今有一质量为m=1×10^-4kg，电量为q=2×10^-6C的带负电小球在水平面上如图从PQ平行板间左侧中点O沿极板中轴线以初速度v₀=4m/s进入平行金属板PQ．
（1）试求小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度大小；
（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．已知Q板电势高于P板，则金属板Q、M间距离是多少？

Answer 1

分析 （1）小球在PQ金属板间在竖直方向受到的重力和支持力平衡，水平方向只受电场力，初速度平行板PQ，小球做类平抛运动，将小球的运动分解：平行于板的方向做匀速直线运动，垂直于板的方向做匀速直线运动．根据牛顿第二定律和运动学规律求解小球刚穿出平行金属板PQ的速度．
（2）题中P板电势高，在电场中小球向P板偏转，进入后磁场后竖直方向重力和支持力仍平衡，由洛伦兹力提供向心力，小球做匀速圆周运动，根据运动的对称性，画出小球的运动轨迹．在MN板间的运动可看作类平抛运动的逆过程处理．由牛顿定律求出圆周运动的半径，运用几何知识求解金属板Q、M间距离．

解答 解：（1）小球在PQ金属板中做类平抛运动：
小球所受电场力：$F=qE=q\frac{U}{d}$，
小球的加速度：$a=\frac{F}{m}$，
解得：$a=\frac{Uq}{dm}=\frac{{6×{{10}^2}×2×{{10}^{-6}}}}{{0.2×1×{{10}^{-4}}}}m/{s^2}=60m/{s^2}$，
小球在板间运动的时间：$t=\frac{L}{v_0}=\frac{0.2}{4}s=0.05s$，
小球在垂直板方向上的速度：v_y=at=60×0.05m/s=3m/s，
则小球离开PQ板时的速度：${v_t}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{{4^2}+{3^2}}m/s=5m/s$；
（2）若Q板电势比P板高，则必须M板电势高于N板电势，其运动轨迹如曲线b所示．
否则不可能在不与极板相碰的前提下，最终在极板MN的左侧中点O′沿中轴线射出．
小球进入磁场后做圆周运动，设运动半径为R，因洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$q{v_t}B=m\frac{v_t^2}{R}$，解得：$R=\frac{{m{v_t}}}{qB}=\frac{{1×{{10}^{-4}}×5}}{{2×{{10}^{-6}}×5×{{10}^2}}}m=0.5m$，
v_t与中轴线的夹角为：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{3}{4}$，
在PQ极板间，若小球向Q板偏，设小球射入与射出磁场的两点间的距离为h_b．
由图中几何关系可算得：h_b=2Rcosθ=0.8m，
小球偏离中轴线的位移：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=7.5×{10^{-2}}$m，
当小球向Q板偏时，根据对称性可得QM板间的距离为：
${d_{QM}}={h_b}-2（\frac{d}{2}-y）={h_b}-d+2y$，
代入数据得：d_QM=0.75m，因而金属板Q、M间距离为0.75m．
答：（1）小球刚穿出平行金属板PQ进入磁场瞬间的速度大小为5m/s；
（2）金属板Q、M间距离是0.75m．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，带电粒子在电场和磁场中运动研究方法不同：电场中类平抛运动采用运动的合成和分解，磁场中匀速圆周运动画轨迹．