Question

18．如图所示，让质量为0.5kg小球从图中的A位置（细线与竖直方向的夹角为60°）由静止开始自由下摆，正好摆到最低点B位置时细线被拉断，设摆线长l=1.6m，悬点O到地面的竖直高度为H=6.6m，不计空气阻力，g=10m/s²，小球落地后与地面发生弹性碰撞（小球反弹的速度大小等于碰前速度大小，小球速度与水平方向夹角不变），求：
（1）细线被拉断之前的瞬间对小球的拉力大小； 
（2）小球落地时的速度；
（3）落地点D到C的距离；
（4）碰撞前后小球动量改变量．

Answer 1

分析 （1）摆球由A位置摆到最低点B位置的过程中，只有重力对摆球做功，其机械能守恒．由机械能守恒定律求出摆球摆到最低点B位置时的速度．摆球经过B位置时由重力和细线的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律求解细线的拉力．
（2）球摆到B点时细线被拉断后，摆球做平抛运动，平抛运动的高度为h=H-l=5m，再机械能守恒求出小球落地时的速度大小．
（3）运用运动的分解方法求出平抛运动的水平距离DC．
（4）小球动量改变量在竖直方向，分别求出碰撞前后的动量，然后求差即可．

解答 解：（1）由机械能守恒得mg（L-L cos60o）=$\frac{1}{2}mv_B^2$
故${v_B}=\sqrt{2gL（1-cos{{60}^o}）}=4m/s$
球经B点时，由牛顿第二定律有$F-mg=m\frac{V_B^2}{L}$
得$F=m（g+\frac{v_B^2}{L}）=10N$
（2）由机械能守恒得$mg（H-L）=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
得${v_D}=\sqrt{v_B^2+2g（H-L）}=2\sqrt{29}m/s$=10.8 m/s       
设速度与水平方向的夹角为θ斜向下，$cosθ=\frac{v_B}{v_D}$
所以：θ=$arccos\frac{2}{{\sqrt{29}}}$
（3）设球平抛运动时间为t，则有$H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
得$t=\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}=1s$
所以C、D间距x=v_Bt=4m
（4）根据题意分析知，小球动量改变量在竖直方向，故有：
取竖直向上为正方向：$△p=m{v_y}^'-m{v_y}$
即：△p=0.5×10-0.5×（-10）kg．m/s△p=10kg．m/s     
动量改变量方向竖直向上．
答：（1）细线被拉断之前的瞬间对小球的拉力大小是10N； 
（2）小球落地时的速度是10.8m/s，速度与水平方向的夹角为$arccos\frac{2}{{\sqrt{29}}}$；
（3）落地点D到C的距离上升4m；
（4）碰撞前后小球动量改变量是10kg．m/s，方向竖直向上．

点评 本题是圆周运动与平抛运动的综合，采用程序法分析求解．两个过程机械能都守恒．属于基础题．