Question

11．如图所示，一平行板电容器两板水平相对放置，在两板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两板间的电场分布．现给上下两板分别充上等量的正负电荷，上板带正电、下板带负电，使两板间形成匀强电场，电场强度大小为E=$\frac{3mg}{q}$．一根长为L的绝缘轻质硬杆上下两端分别固定一带电金属小球A、B，两球大小相等，且直径小于电容器极板上的孔，A球带负电Q_A=-3q，B球带正电Q_B=+q，两球质量均为m．将“杆-球”装置移动到上极板上方，保持竖直，且使B球刚好位于上板小孔的中心处、球心与上极板在一平面内．然后静止释放．已知带电平行板电容器只在其两板间存在电场，两球在运动过程中不会接触到极板，且各自的带电量始终不变．忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响，两球可以看成质点，电容器极板厚度不计．重力加速度取g．求：
（1）B球刚进入两板间时，“杆-球”装置的加速度大小a．
（2）若以后的运动过程中，发现B球从下极板的小孔穿出后，刚好能运动$\frac{L}{2}$的距离．求电容器两极板间距d．
（3）A、B两球从开始到最低点的运动过程中，硬杆上所产生的弹力始终是拉力，则拉力最大值是多大（静电常数为k）？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可以求出加速度．
（2）B球刚进入两板间时，对AB整体，受重力、向下的电场力，根据牛顿第二定律列式求解加速度大小，根据速度位移公式列式求解A球刚进入两板间时“杆一球”装置的速度大小；A进入两板间到B即将穿出下孔过程，受重力和电场力，根据牛顿第二定律列式求解加速度，根据速度位移公式列式；B穿出下孔后，先根据牛顿第二定律列式求解加速度，再根据速度位移公式列式；最后联立求解．
（3）应用牛顿第二定律求出各种情况下的拉力，然后求出最大拉力．

解答 解：（1）以为AB系统为研究对象，
由牛顿第二定律得：qE+2mg=2ma，解得：a=$\frac{5}{2}$g；
（2）①从开始到A刚进入两板间有：v₁²=2aL，解得：v₁=$\sqrt{5gL}$；
②A进入两板间到B即将穿出下孔，由牛顿第二定律得：
qE+2mg-3qE=2ma₂，解得：a₂=-2g，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v₂²-v₁²=2a₂S   
③B穿出下孔后，由牛顿第二定律得：
2mg-3qE=2ma₃，解得：a₃=-$\frac{7}{2}$g，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：0-v₂²=2a₃×$\frac{L}{2}$  
解得：S=$\frac{3}{8}$L，两板间距：d=S+L=$\frac{11}{8}$L；
（3）B球刚进入电场时，以A球为研究对象，
由牛顿第二定律得：T₁+mg+$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$=ma，解得：T₁=$\frac{3}{2}$mg-$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$，
A球刚进入电场时，以B球为研究对象，
由牛顿第二定律得：T₂+$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$-mg-qE=m|a₂|，解得：T₂=6mg-$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$，
B球刚离开电场时，以B球为研究对象，
由牛顿第二定律得：T₃+$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$-mg=m|a₃|，解得：T₃=$\frac{9}{2}$mg-$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$，
所以，最大拉力为：T₂=6mg-$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$；
答：（1）B球刚进入两板间时，“杆-球”装置的加速度a大小为$\frac{5}{2}$g．
（2）电容器两极板间距d为$\frac{11}{8}$L．
（3）A、B两球从开始到最低点的运动过程中，硬杆上所产生的弹力始终是拉力，则拉力最大值是：6mg-$\frac{3k{q}^{2}}{{L}^{2}}$．

点评 本题考查了求加速度、距离与拉力问题，分析清楚运动过程与球的受力情况是解题的管家，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题；解题时要注意研究对象的选择．