Question

16．如图，质量为0.5kg的杯子里盛有1kg的水，用绳系住水杯在竖直平面内做“水流量”表演，转动半径为1m（杯子可视为质点）（g=10m/s²）
求：（1）若表演中绳子不松弛，则杯子在最高点的最小速度为多少？
   （2）水杯通过最高点的速度为5m/s，则在最高点时，绳的拉力大小和水对杯底的压力？

Answer 1

分析 （1）表演中绳子恰好不松弛时，绳子的拉力为零，对杯子和水整体，由重力提供圆周运动的向心力．根据牛顿第二定律求出最小速度．
（2）以杯中水为研究对象，受到杯底对水的压力和重力提供圆周运动向心力求得杯底对水的压力，从而得到水对杯底的压力．再对杯子和水整体为研究，由牛顿第二定律求绳子拉力．

解答 解：（1）表演中绳子恰好不松弛时，绳子的拉力为零，对杯子和水整体有：
  （M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，得最小速度  v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）在最高点时，以杯和水整体为研究对象，竖直方向受到重力和绳的拉力作用，合力提供圆周运动向心力，故有：
 （M+m）g+T=（M+m）$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得绳的拉力 T=（M+m）（ $\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=（1+0.5）（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）N=22.5N
以杯中水为研究对象，水受到杯底的压力和重力的合力提供水随杯圆周运动的向心力，故有：
  N+Mg=M$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得水受到杯底的压力 N=M（$\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=1×（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）=15N，方向竖直向下．
根据牛顿第三定律知，水对杯底的压力为15N，方向竖直向上．
答：
（1）若表演中绳子不松弛，则杯子在最高点的最小速度为$\sqrt{10}$m/s．
（2）水杯通过最高点的速度为5m/s，则在最高点时，绳的拉力大小和水对杯底的压力分别为22.5N和15N．

点评 解决本题的关键是抓住在竖直面内圆周运动的最高点和最低点，物体所受竖直方向的合力提供圆周运动向心力．