Question

6．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，想物块悬挂于管口，现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球想转向过程中速率不变．（重力加速度为g）
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于L．

Answer 1

分析 开始时小球沿斜面向上做匀加速，小物块向下也做匀加速，两者的加速度大小相等．对各自受力分析，运用牛顿第二定律列出等式，解出方程．
小物块落地静止不动，小球继续向上做匀减速运动，对其受力分析，运用牛顿第二定律解出此时的加速度（与前一阶段加速度不等），结合运动学公式求出小球从管口抛出时的速度大小．
运用平抛运动的规律表示出小球平抛运动的水平位移，利用数学知识证明问题．

解答 解：（1）设细线中的张力为T，对小球和小物块各自受力分析：

根据牛顿第二定律得：
对M：Mg-T=Ma
对m：T-mgsin30°=ma
且M=km
解得：a=$\frac{2k-1}{2（k+1）}$
（2）设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v₀，M落地后m的加速度为a₀．
根据牛顿第二定律有：-mgsin30°=ma₀
对于m匀加速直线运动有：v²=2aLsin30°
对于小物块落地静止不动，小球m继续向上做匀减速运动有：v²-v₀²=2a₀L（1-sin30°）
解得：v₀=$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）
（3）平抛运动x=v₀t    Lsin30°=$\frac{1}{2}$gt² 
解得x=L$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$
因为$\frac{k-2}{k+1}$＜1，所以x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，得证．
答：（1）小物块下落过程中的加速度大小是$\frac{2k-1}{2（k+1）}$；
（2）小球从管口抛出时的速度大小为$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$；
（3）证明如上

点评 本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律．
要注意第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的m加速度不相等．
第（3）问中，因为$\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以$x=L\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$