Question

如图1所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L=8m，传送带的皮带轮的半径均为R=0.2m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45m，现有一个旅行包（视为质点），以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平传送带，已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ=0.6．g取10m/s²，试讨论下列问题：
（1）若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落，则包落地点距B端的水平距离为多少？
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为8m，旅行包滑上传送带的初速度恒为10m/s，当皮带轮的角速度ω₁值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所求的水平距离？若皮带轮的角速度ω₂=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？
（3）设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，画图2出旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的图象．

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑动，受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列式求加速度，然后根据速度位移公式列式求解末速度，最后根据平抛运动的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直减速，到达最右端的速度与传送带不动时的速度相同，则平抛的初速度相同，射程也就相同，故只需传送带的速度小于旅行箱到达最右端的速度即可；皮带的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先减速后匀速，根据运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．
（3）分三种情况进行讨论分析：一直匀减速运动，先匀减速后匀速，一直匀加速运动，进而求出角速度与水平位移的关系．

解答：解：（1）旅行包做匀减速运动，a=μg=6m/s²
包到达B端的速度为 v=

v 2 0 -2aL

=

100-96

=2m/s
包的落地点距B端的水平距离为s=vt=v

2h g

=0.6m（m
）
（2）包在传送带上须匀减速运动，且到达B端的速度为v=2m/s时，水平距离才不变．
皮带轮的临界角速度ω1=

v

R

=

2

0.2

=10(rad/s)
∴ω值的范围是ω≤10rad/s．                                         
当ω₂=40rad/s时，皮带速度为v₂=ω₂R=8m/s
当包的速度也为v₂=8m/s时，在皮带上运动了s=

v 2 0 - v 2 2

2a

=

100-64

12

=3m＜8m；
∴以后旅行包匀速直线运动，旅行包到达B端的速度为v₂=8m/s
旅行包的落地点距B端的水平距离为S2=v2

2h g

=8×

2×0.45 10

=2.4m
（3）①当ω≤10rad/s时，包一直减速，在B端速度2m/s，则：
平抛的水平距离为s=0.6m；
②当10rad/s＜ω＜70rad/s时，水平先减速或加速再匀速，包在B端的速度与传送带的速度相同，则：
平抛的水平距离为s=vt=ωR

2h g

=0.06ω(m)
③当ω≥70rad/s时，包一直加速，在B端速度14m/s，则：
平抛的水平距离为s=4.2m．则旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的图象如图所示．
答：
（1）包的落地点距B端的水平距离是0.6m；
（2）设皮带轮顺时针匀速运动，且皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离是2.4m；
（3）图象如图所示．

点评：本题关键是对小滑块的运动情况分析清楚，然后根据牛顿第二定律、运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．