Question

13．假设在某天体上发射一颗该天体的卫星，它贴近该天体表面做匀速圆周运动，测得卫星运行的周期为T，已知万有引力常量为G，可求得该天体的平均密度为$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量，结合天体的体积求出天体的密度．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得天体的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根据密度的定义式得天体的密度为$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
故答案为：$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，结合轨道半径和周期求解中心天体的质量．