Question

11．如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M后飞出轨道，落地点到N点的距离为4R．忽略圆管内径，不计空气阻力及各处摩擦，已知重力加速度为g．求：
（1）小球从飞出轨道到落地的时间t．
（2）小球从M点飞出时的速度大小v．
（3）小球在轨道最高点M时对轨道的压力F．

Answer 1

分析 根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出小球从M点飞出时的速度大小．
根据牛顿第二定律求出小球在轨道最高点受到的弹力大小，从而得出小球在轨道最高点M时对轨道的压力F．

解答 解：（1）根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$2\sqrt{\frac{R}{g}}$．
（2）小球从M点飞出时的速度大小为：
$v=\frac{x}{t}=\frac{4R}{2\sqrt{\frac{R}{g}}}=2\sqrt{gR}$．
（3）根据牛顿第二定律得：
$F+mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入解得：F=3mg，
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为：F′=F=3mg，方向竖直向上．
答：（1）小球从飞出轨道到落地的时间t为$2\sqrt{\frac{R}{g}}$．
（2）小球从M点飞出时的速度大小v为$2\sqrt{gR}$．
（3）小球在轨道最高点M时对轨道的压力F为3mg．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．