Question

5．如图所示，一根细线（不计质量）穿过光滑的竖直圆管，圆管上的阀门k可以控制细线伸出底端的长度，圆管底端距水平桌面的高度h=0.4m，现在细线的末端系一质量m=2kg的小球，小球以圆管底端为悬点在水平桌面上做匀速圆周运动，圆管下方的细线与竖直方向的夹角θ=37°，此时小球对桌面的压力恰好为零．取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）若将阀门k松开，t=$\frac{4}{15}$s后再次锁紧，小球以速度大小v₁=0.9m/s在水平桌面内再次做匀速圆周运动，求此后小球受到水平桌面的支持力大小N．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出小球在水平桌面上做圆周运动的半径，结合牛顿第二定律求出小球做圆周运动的线速度大小．
（2）在阀门k松开t时间内，小球将从b点沿切线匀速运动到c点，根据几何关系求出小球再次做圆周运动的半径，抓住竖直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力，求出小球受到桌面的支持力．

解答 解：（1）由题可知，小球在水平桌面上做匀速圆周运动的半径为：
r=$htan37°=0.4×\frac{3}{4}m=0.3m$，
根据牛顿第二定律得：$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得小球做匀速圆周运动的线速度v=1.5m/s．
（2）如图所示，在阀门k松开t时间内，小球将从b点沿切线匀速运动到c点，然后以Oc为半径在水平桌面上做匀速圆周运动，小球将从b点匀速运动到c点，有：
${L}_{bc}=vt=1.5×\frac{4}{15}m=0.4m$，
当阀口k再次锁紧后，此时小球运动的轨道半径R=$\sqrt{{{L}_{bc}}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{0.16+0.09}$m=0.5m，如图所示．
设此后细线与竖直方向的夹角为α，有：$tanα=\frac{R}{h}$，
设细线对小球的拉力为T，由小球的受力情况有：$Tsinα=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，Tcosα+N=mg，
代入数据解得N=17.4N．
答：（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小为1.5m/s．
（2）小球受到水平桌面的支持力大小N为17.4N．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，知道小球在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力．