Question

13．如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v₀从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．（粒子的重力不计），试求：
（1）b到O的距离．
（2）粒子在磁场中运动的时间．
（3）圆形匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出粒子圆周运动的半径，根据几何知识求b到O的距离；
（2）根据公式t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间；
（3）要使圆形磁场区域面积最小，其半径刚好为粒子圆周运动轨迹弦长l的一半；

解答 解：（1）带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力：
Bqv=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
带电粒子从O处进入磁场，转过120°后离开磁场，再做直线运动从b点射出时ob距离：
d=3R=$\frac{3m{v}_{0}}{qB}$
（2）带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为120°，则有：
t=$\frac{1}{3}$T=$\frac{2πm}{3qB}$
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为：

l=$\sqrt{3}$R
要使圆形磁场区域面积最小，其半径刚好为l的一半，即：
r=$\frac{1}{2}$l=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
其面积为：S_min=πr²=$\frac{3π{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）b到O的距离为$\frac{3m{v}_{0}}{qB}$．
（2）粒子在磁场中运动的时间$\frac{2πm}{3qB}$．
（3）圆形匀强磁场区域的最小面积为$\frac{3π{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题的解题关键是画出带电粒子的运动轨迹，由半径和周期表达式结合几何关系求解．