Question

9．宇宙中有一星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半．若从地球上h（此高度比较小）处水平抛出一物体，水平射程是30m，设地球第一宇宙速度约为8km/s，试求：
（1）则在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，射程是多少？
（2）至少以多大的速度抛出，物体才不会落回该星球的表面？（提示：此时恰能在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动）．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力得出星球表面和地球表面重力加速度的关系，结合平抛运动的规律求出射程的大小．
（2）根据重力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，从而结合重力加速度之比求出在星球上的第一宇宙速度，即不会落回星球表面的最小速度．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因为星球的质量是地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，则重力加速度36倍．
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt知，水平射程x=$v\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
因为重力加速度之比为36：1，则水平射程之比为1：6，
可知在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，射程x′=$30×\frac{1}{6}m=5m$．
（2）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，
因为重力加速度之比为36：1，半径之比为1：2，则第一宇宙速度之比为$\sqrt{18}：1$，
解得最小速度v′=8×$\sqrt{18}$km/s=24$\sqrt{2}$km/s．
答：（1）在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，射程是5m；
（2）至少以$24\sqrt{2}$km/s的速度抛出，物体才不会落回该星球的表面．

点评 本题考查了平抛运动规律与万有引力定律理论的综合运用，通过万有引力等于重力求出重力加速度之比是解决本题的关键．