Question

16．如图所示，横截面积为S的热水杯盖扣在水平桌上，开始时内部封闭气体的温度为27℃，压强为大气压强p₀．当封闭气体温度上瓶30℃时，水杯盖恰好被整体顶起，放出少许气体后又落回桌面，其内部压强立即减为p₀，温度仍为30℃．再经过一段时间，由于室温的降低内部气体温度 降至21℃．整个过程中封闭气体均可视为理想气体．求：
（i）当封闭气体温度上升至30℃且水杯盖未被顶起时的压强p₁；
（ii）当封闭气体温度下降至时，竖直向上提起杯盖所需的最小力F_min．

Answer 1

分析 （i）根据查理定律，一定质量一定体积理想气体的压强与热力学温度成正比，在杯盖内的气体质量体积不变，温度升高，初状态和末状态的压强和温度之比不变，据此求出末状态的压强；
（ii）杯盖刚好被顶起时，受重力、大气的压力和内部气体的压力，三者合力为零．放出少许气体后温度再次下降的过程中仍符合查理定律，此时若想提起杯盖，杯盖受到向上的力是提起杯盖的力，内部气体的压力，向下的力是大气压力和杯盖重力．根据受力平衡，求出力的大小．

解答 解：（ⅰ）气体进行等容变化，开始时，压强P₀，温度T₀=（27+273）K=300K
当温度上升到30℃且尚未放气时，压强为P₁，温度T₁=（30+273）=303K
根据$\frac{{p}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$
可得${p}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}{p}_{0}^{\;}=\frac{303}{300}{p}_{0}^{\;}=1.01{p}_{0}^{\;}$
（ⅱ）放气后内部气体，压强P₀，温度T₁=（30+273）=303K
气体做等容变化，温度下降至T₂=（21+273）K=294K时，压强${p}_{2}^{\;}$
根据$\frac{{p}_{0}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
解得${p}_{2}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}{p}_{0}^{\;}=\frac{294}{303}{p}_{0}^{\;}=\frac{98}{101}{p}_{0}^{\;}$
当杯盖恰被顶起时有
${p}_{1}^{\;}S=mg+{p}_{0}^{\;}S$
若将杯盖提起时所需的最小力满足
${F}_{min}^{\;}+{p}_{2}^{\;}S=mg+{p}_{0}^{\;}S$
解得 ${F}_{min}^{\;}=\frac{401}{10100}{p}_{0}^{\;}S≈0.04{p}_{0}^{\;}S$
答：（i）当封闭气体温度上升至30℃且水杯盖未被顶起时的压强${p}_{1}^{\;}$为$1.01{p}_{0}^{\;}$；
（ii）当封闭气体温度下降至时，竖直向上提起杯盖所需的最小力${F}_{min}^{\;}$为$0.04{p}_{0}^{\;}S$．

点评 本题考查气体实验定律及共点力平衡条件的应用，要注意明确前后气体质量不同，只能分别对两部分气体列状态方程求解．