Question

10．如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球作匀速圆周运动，且a、b在运动过程中仅受地球万有引力的作用，a、b绕地球运动的线速度大小分别为v₁、v₂，周期分别为T₁、T₂，则（　　）

• A． lg（$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$）=$\frac{1}{3}$lg（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）
• B． lg（$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$）=3lg（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）
• C． lg（$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$）=$\frac{1}{3}$lg（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）
• D． lg（$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$）=3lg（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，以及开普勒第三定律列式求解即可．

解答 解：根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
a、b到地心O的距离分别为r₁、r₂，
所以有：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$…①，
根据开普勒第三定律得：
$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$…②
由①②解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{\frac{1}{3}}$，
根据数学知识得：lg（$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$）=$\frac{1}{3}$lg（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$），故C正确．
故选：C

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式，难度适中