Question

20．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v₁=2$\sqrt{gR}$、v₂=3$\sqrt{gR}$、v₃=4$\sqrt{gR}$水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是（　　）

• A． 三个小球离开轨道后均做平抛运动
• B． 小球2和小球3的落点到A点的距离之比为$\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$
• C． 小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1：1
• D． 小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1：1

Answer 1

分析 先求出小球通过最高点时的临界速度，再分析三个小球能否到达最高点．若能通过最高点就能做平抛运动，再由平抛运动的规律分析水平距离和时间之比．

解答 解：A、设小球恰好通过最高点时的速度为v，此时由重力提供向心力，则 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{gR}$
设小球能通过最高点时在轨道最低点时最小速度为v′，由机械能守恒定律得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，得 v′=$\sqrt{5gR}$
由于v₁=2$\sqrt{gR}$＜v′，所以小球1不能到达轨道最高点，也就不能做平抛运动，故A错误．
BCD、小球2和小球3离开轨道后做平抛运动，由2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得 t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，则得：小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1：1．
设小球2和小球3通过最高点时的速度分别为v₂′和v₃′．根据机械能守恒定律得：
  2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²；2mgR+$\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₃′²；
解得 v₂′=$\sqrt{5gR}$，v₃′=$2\sqrt{3gR}$
由平抛运动规律得：水平距离为 x=v₀t，t相等，则小球2和小球3的落点到A点的距离之比为$\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$．
小球1做的不是平抛运动，则小球1和小球2做平抛运动的时间之比不是1：1，故BD正确，C错误．
故选：BD

点评 解决本题的关键要掌握圆周运动最高点的临界条件，明确小球离开轨道后做平抛运动，应用平抛知识、机械能守恒定律结合解题．