Question

9．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均按顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R．不计卫星间的相互作用力，则以下判断中正确的是（　　）

• A． 这两颗卫星的加速度大小相等，均为$\frac{Rg}{r}$
• B． 卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做功为零
• C． 卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 卫星1中质量为m的物体动能为$\frac{1}{2}$mgr

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，以及黄金代换式GM=gR²，可以解出卫星的加速度大小．根据卫星的周期公式求卫星从A至B的时间．根据卫星的速度公式求物体的动能．

解答 解：A、对于卫星，根据万有引力提供向心力，有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma
又在地球表面，有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
由两式可得：a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$，故A错误；
B、卫星1由位置A运动到位置B的过程中，万有引力与卫星的速度始终垂直，对卫星做功为零．故B正确．
C、根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，以及GM=gR²，
解得：T=$\frac{2πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
卫星1由位置A运动到位置B所需的时间：=$\frac{T}{6}$=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C正确．
D、卫星1绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，
则卫星1中质量为m的物体动能为：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$，故D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及黄金代换式GM=gR²，把要求解的物理量先表示出来即可．