Question

19．如图所示，倾角为θ=45^°的直导轨与半径为R的圆环轨道相切，切点为B，整个轨道处在竖直平面内，一质量为m的小滑块从导轨上的A处无初速下滑进入圆环轨道．接着小滑块从圆环最高点D水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，不计一切阻力．求：
（1）滑块运动到D点时速度的大小．
（2）滑块运动到最低点C时对轨道压力的大小．
（3）A、C两点的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系得出平抛运动的水平位移，结合平抛运动的规律，求出平抛运动的初速度，即在最高点D的速度．
（2）对最低点C到D点运用动能定理，求出最低点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出滑块对最低点C的压力大小．
（3）对C到最低点运用机械能守恒定律，求出A、C两点的竖直高度大小．

解答 解：（1）根据几何关系知，OP间的距离为：x=$\sqrt{2}R$，
根据R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
则滑块在最高点C时的速度为：${v}_{D}=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}=\sqrt{gR}$．
（2）对最低点C到D点运用动能定理得：-mg2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：v=$\sqrt{5gR}$，
对最低点由牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F_N=6mg
由牛顿第三定律得：滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小为6mg．
（3）不计一切阻力，A到C过程满足机械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=mgh$，
解得：h=2.5R
答：（1）滑块运动到D点时速度的大小是$\sqrt{gR}$．
（2）滑块运动到最低点C时对轨道压力的大小是6mg．
（3）A、C两点的竖直高度是2.5R．

点评 该题的突破口是小滑块从圆环最高点D水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，运用平抛规律和几何关系求出初速度．下面就是一步一步运用动能定理和牛顿第二定律解决问题．