Question

10．如图，金属杆MN放在完全相同的导体制成的金属框abcd上，并接触良好．沿线框bc边建立x轴，以b为坐标原点．矩形框ad边长2L，ab边长为L，导体单位长度的电阻为R₀，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直．现对MN杆施加沿x轴正方向的拉力，使之从框架左端开始，以速度v向右匀速运动，不计一切摩擦，求：
（1）在MN杆运动的过程中，通过杆的电流与坐标x的关系．
（2）作用在MN杆上的外力的最大值与最小值之比．

Answer 1

分析 （1）先根据电路的结构求回路总电阻与x的关系，再由E=BLv、欧姆定律求解电流与x的关系．
（2）当MN中电流最小时拉力最小，当电流最大时拉力最大．由上题结果求出最大和最小电流，再由安培力公式和平衡条件求解．

解答 解：（1）设导体杆MN的坐标为x，则杆左侧电阻R₁和右侧电阻R₂分别为 R₁=（L+2x）R₀，R₂=[L+2（2L-x）]R₀，
回路总电阻R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$+LR₀=$\frac{11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}}{6L}$R₀
杆运动产生的感应电动势 E=BLv
杆MN中电流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}）{R}_{0}}$
（2）当x=L时，R有最大值，I有最小值，拉力F也有最小值．
I的最小值为 I_min=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8{L}^{2}-4{L}^{2}）{R}_{0}}$=$\frac{6Bv}{15{R}_{0}}$=$\frac{2Bv}{3{R}_{0}}$
F的最小值为   F_min=BI_minL=$\frac{2{B}^{2}Lv}{5{R}_{0}}$
当x=0或x=2L时，R有最小值，I有最大值．
I的最大值为 I_max=$\frac{6B{L}^{2}v}{11{L}^{2}{R}_{0}}$=$\frac{6Bv}{11{R}_{0}}$
拉力F也有最大值，最大值为 F_max=BI_maxL=$\frac{6{B}^{2}Lv}{11{R}_{0}}$
所以F_max：F_min=15：11
答：
（1）在MN杆运动的过程中，通过杆的电流与坐标x的关系是I=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}）{R}_{0}}$．．
（2）作用在MN杆上的外力的最大值与最小值之比是15：11．

点评 本题是电磁感应中电路问题，要理解并掌握电流与外电阻的关系，运用数学极值法分析．