Question

13．如图所示，处于同一条竖直线上的两个点电荷A、B带等量同种电荷，电荷量为Q，GH是它们连线的垂直平分线，另有一个带正电的小球C，质量为m、电荷量为q（可视为点电荷，不影响A、B的电场分布），被长为l的绝缘轻细线悬挂于O点，现在把小球C拉起到M点，使细线水平且与A、B处于同一竖直面内，由静止开始释放，小球C向下运动到GH线上的N点时刚好速度为零，此时细线与竖直方向上的夹角θ=30°．求：
（1）判断A、B带正电还是负电？说明理由．
（2）在A、B所形成的电场中，取N点电势为零，M点的电势为多少？
（3）若N点与A、B两个点电荷所在位置正好形成一个边长为a的正三角形，求N点的电场强度的大小和方向．（静电力常量为k）
（4）在第（3）问的前提下，求小球运动到N点瞬间细线对小球的拉力大小．
某同学解法如下：由于到达N点时速度为0，所以小球平衡，拉力的大小等于重力mg与电场力的合力，由三力平衡可求出拉力的大小．
该同学的解法是否合理？若合理，请求出结果；若不合理，说明理由并用你自己的方法求出拉力．

Answer 1

分析 （1）根据电场力对小球C做功情况，分析A、B带何种电荷．
（2）带电小球C在A、B形成的电场中从M点运动到N点的过程中，重力和电场力做功，但合力做功为零，根据动能定理可求出M、N间的电势差，再得到M点的电势．
（3）根据点电荷场强公式和电场的叠加原理求解N点的电场强度的大小和方向．
（4）在N点，小球C受到重力mg、细线的拉力F_T以及A和B分别对它的斥力F_A和F_B四个力的作用，且沿细线方向的合力为零．根据力的合成与分解及几何关系即可求解．
细线的拉力．

解答 解：（1）小球C向下运动到GH线上的N点时刚好速度为零，此过程中，重力做正功，而总功为零，说明电场力对小球C做负功，则知A、B带正电．
（2）带电小球C从M运动到N点的过程中，重力和电场力做功，总功为零，由动能定理得：
  qU_MN+mglcosθ=0
所以 U_MN=-$\frac{mglcos30°}{q}$
由U_MN=φ_M-φ_N，φ_N=0，解得 φ_M=-$\frac{mglcos30°}{q}$．
（3）A、B两个点电荷在N点产生的场强大小均为 E=k$\frac{Q}{{a}^{2}}$
由电场的叠加原理可得，N点的场强大小 E_N=2Ecos30°=$\frac{\sqrt{3}kQ}{{a}^{2}}$，方向水平向右．
（4）该同学的解法不合理，因为小球在N点的受力不平衡，不能根据平衡条件求细线对小球的拉力．
正确的解法如下：
   在N点，小球C受到重力mg、细线的拉力F_T、以及A和B分别对它的斥力F_A和F_B四个力的作用，如图所示．
小球在N点的速度为零，向心力为零，则小球C沿细线方向的合力为零．
则有   F_T-mgcos30°-F_Acos30°=0
又 F_A=k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$
解得 F_T=mgcos30°+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（mg+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$）
答：
（1）A、B带正电．
（2）M点的电势为-$\frac{mglcos30°}{q}$．
（3）N点的场强大小是$\frac{\sqrt{3}kQ}{{a}^{2}}$，方向水平向右．
（4）该同学的解法不合理，因为小球在N点的受力不平衡，不能根据平衡条件求细线对小球的拉力．正确的答案是：细线的拉力为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（mg+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$）．

点评 该题要掌握动能定理以及力和场强的合成与分解，要知道要求电势，往往先求电势差，再求电势，要能结合几何关系求解相关物理量．