Question

10．如图所示，在光滑的水平桌面上，叠放着一质量为m_A=3.0kg、长度L=2.0m的薄板A和质量m_B=3kg的可视为质点的滑块B，在薄板A的右侧一定距离处还有一个弹性挡板D、B用轻线跨过定滑轮与质量为m_C=1.0kg的物体C相连，B与A之间的动摩擦因数μ=0.1，忽略滑轮质量及滑轮与轴间的摩擦，起始时系统处于静止状态，B位于A的左侧，然后释放，试求：（g=10m/s²）
（1）释放后，A、C的加速度大小；
（2）当B相对A滑动到薄板A的中间位置时，A恰好与挡板D相碰，则开始时A的右端与D的距离；
（3）当A与D在极短时间相碰后，被原速弹回，同时，连线B、C的轻线断掉，则最终薄板A的速度大小和方向．

Answer 1

分析 （1）假设AB保持相对静止，求出整体的加速度，隔离对A分析，求出摩擦力的大小，从而判断出A、B发生相对滑动，隔离对A分析，结合牛顿第二定律求出A的加速度，对BC整体分析，根据牛顿第二定律求出C的加速度．
（2）根据位移关系，求出A恰好与挡板D相碰经历的时间，结合位移时间公式得出开始时A的右端与D的距离．
（3）根据速度时间公式求出A与D碰撞前A、B的速度，结合动量守恒定律和能量守恒综合求解．

解答 解：（1）假设AB保持相对静止，对整体分析有：
a=$\frac{{m}_{c}g}{{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{c}}=\frac{10}{3+3+1}=\frac{10}{7}m/{s}^{2}$，
隔离对A分析有：f=${m}_{B}a=\frac{30}{7}N＞μ{m}_{A}g$，可知A、B发生相对滑动，
隔离对A分析有：${a}_{A}=\frac{μ{m}_{A}g}{{m}_{B}}=\frac{0.1×30}{3}=1m/{s}^{2}$，
C的加速度为：${a}_{C}=\frac{{m}_{c}g-μ{m}_{B}g}{{m}_{B}+{m}_{C}}$=$\frac{10-0.1×30}{4}m/{s}^{2}=1.75m/{s}^{2}$．
（2）设经过t时间，A恰好与挡板D相碰，有：$\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}=\frac{L}{2}$，
代入数据解得：t=$\sqrt{\frac{8}{3}}s$，
开始时A的右端与D的距离为：$x=\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×\frac{8}{3}=\frac{4}{3}m$．
（3）A与D碰撞前的速度为：${v}_{1}={a}_{A}t=\sqrt{\frac{8}{3}}m/s$，
B的速度为：${v}_{2}={a}_{B}t=1.75×\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{7}{4}\sqrt{\frac{8}{3}}m/s$，
碰撞后A、B组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，根据动量守恒得：
m_Bv₂-m_Av₁=（m_A+m_B）v，
代入数据解得：v=$\sqrt{\frac{3}{8}}m/s$，方向向右．
根据$μ{m}_{B}g△x=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{2}}^{2}$$-\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$得：△x=5m，可知B会滑离A．
设最终A的速度为v₃，物块B的速度为v₄，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得：m_Bv₂-m_Av₁=m_Av₃+m_Bv₄，
根据能量守恒得：$μmgL=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{3}}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{4}}^{2}$，
代入数据联立解得：v₃=-1.39m/s，方向向左．
答：（1）释放后，A、C的加速度大小分别为1m/s²、1.75m/s²．
（2）开始时A的右端与D的距离为$\frac{4}{3}m$；
（3）最终薄板A的速度大小为1.39m/s，方向向左．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，对于第三问，要判断B是否脱离A，运用动量守恒和能量守恒综合求解．