Question

14．如图所示在xOy平面的第二和第四象限中，存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅱ和Ⅰ，两电场的边界均是边长为L的正方形，在第一象限的区域Ⅲ内存在一匀强磁场，磁感应强度的大小和方向未知，不考虑边缘效应，一电子（已知质量为m，电量为e）从GF中点静止释放（不计电子所受重力），恰垂直经过y轴．

（1）求在区域Ⅲ内的匀强磁场的磁感应强度的大小和方向．
（2）求电子离开ABCD区域的位置．
（3）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能垂直经过y轴，求所有释放点的位置．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出电子进入磁场时的速度，在磁场中匀速圆周运动，根据几何关系求出半径，由半径公式求出磁感应强度的大小，由左手定则求出磁感应强度的方向；
（2）在GF边的中点处由静止释放电子，电场力对电子做正功，根据动能定理求出电子进入磁场时的速度．在磁场中运动$\frac{1}{4}$圆周，进入电场II后电子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出电子的加速度，由运动学公式结合求出电子离开ABCD区域的位置坐标．
（3）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子先在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，进入磁场后匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出位置x与y的关系式．

解答 解：（1）在区域Ⅰ中，电子经电场加速获得的速度为v0，根据动能定理，有：
$eEL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2eEL}{m}}$…①
在区域Ⅲ中，电子做匀速圆周运动，半径$R=\frac{L}{2}$，根据洛伦兹力提供向心力，有：
$e{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eB}$…②
联立①②得：$B=2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$
根据左手定则，磁感应强度的方向垂直纸面向外
（2）进入电场Ⅱ后电子做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有：
$\frac{L}{2}-y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
根据牛顿第二定律：$a=\frac{eE}{m}$
运动时间$t=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$
代入解得$y=\frac{L}{4}$，即电子离开ABCD区域的位置坐标为$（-2L，\frac{L}{4}）$
（3）设释放点在电场区域Ⅰ中，其坐标为（x，y），在电场Ⅰ中电子被加速到${v}_{1}^{\;}$，然后进入磁场做匀速圆周运动，因为电子恰能垂直经过y轴，所以
R′=x
$eE|y|=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
进入磁场做匀速圆周运动，有$e{v}_{1}^{\;}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$
得：$R′=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{eB}$
联立解得：${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$
答：（1）在区域Ⅲ内的匀强磁场的磁感应强度的大小$2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$和方向垂直纸面向外．
（2）电子离开ABCD区域的位置（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（3）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能垂直经过y轴，所有释放点的位置满足${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$

点评 本题主要考查了带点粒子在混合场中运动的问题，要求能够正确分析电子的受力情况，再通过受力情况分析其运动情况，圆周运动的基本公式，用几何关系解题，难度较大．