Question

3．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C₁、C₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板C₃，平板C₃在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距d₂=0.18m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C₁板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$m，不考虑空气阻力．求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C₃上，求磁感应强度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动，分别写出沿电场方向和垂直于电场方向的分位移、分速度与时间的关系式，结合牛顿第二定律求出加速度，联立可得到场强的大小．
（2）根据类平抛运动的规律求出经过M点的速度，作出粒子在磁场中的临界运动轨迹，结合几何关系和半径公式求出磁感应强度的范围．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有：
s=v₀t，at=v₀tanθ，
由牛顿第二定律有：qE=ma，
解得：E=8$\sqrt{2}$V/m；
（2）设小球通过M点时的速度为v，
由类平抛运动的规律有：v=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8m/s
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图，
由牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{v^2}{R}$，
解得：B=$\frac{mv}{qR}$，
小球刚好不与C₂板相碰时磁感应强度最小设为B₁QUOTE，此时粒子的轨迹半径为R₁
由几何关系有：R₁=d₁，
解得：B₁=$\frac{2}{3}$T，
小球刚好能打到Q点磁感应强度最强设为B₂．此时小球的轨迹半径为R₂
由几何关系有：$\frac{R_2}{{L+{d_2}-{R_2}}}=\frac{{L-{R_2}}}{R_2}$，
解得：R₂=0.4mB₂=1T，
综合得磁感应强度的取值范围：$\frac{2}{3}$T≤B≤1T；
答：（1）匀强电场的场强大小为8$\sqrt{2}$V/m；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C₃上，磁感应强度的取值范围是$\frac{2}{3}$T≤B≤1T．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分位移公式和几何关系列式求解．
解带电粒子在有界电场中的运动问题的一般思路：
1、根据题意作出粒子运动轨迹；
2、确定圆心，求出粒子在磁场中转过的圆心角，求出粒子轨道半径；
3、应用牛顿第二定律与周期公式分析答题．