Question

4．科学家发现宇宙当中存在许多“黑洞”，“黑洞”的边界可以认为任何物质包括光都不能从其内部射出，目前我们可通过观察“黑洞”周围天体的绕行运动情况来了解“黑洞”．现观察到相距遥远的两“黑洞”P₁、P₂周围有许多天体绕其运行，各天体运行可视为匀速圆周运动，轨道半径r的立方和对应周期T的平方关系图象如图中的斜线P₁、P₂，不考虑相对论效应．则（　　）

• A． P₁与P₂的平均密度之比为$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• B． P₁与P₂的平均质量之比为$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• C． P₁与P₂的半径之比为$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$
• D． 轨道半径为r₀的各点上对应天体的向心加速度大小相同

Answer 1

分析 天体运行绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，列式得到轨道半径r的立方和对应周期T的平方关系式，再进行分析．

解答 解：ABC、设黑洞的质量为M，天体的质量为m．天体运行绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
可得 T²=$\frac{4{π}^{2}}{GM}{r}^{3}$
可知T²-r³图象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，则M=$\frac{4{π}^{2}}{Gk}$
所以P₁与P₂的平均质量之比等于图线斜率的反比，为 $\frac{{M}_{p1}}{{M}_{p2}}$=$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$，根据条件不能求出黑洞的半径未知，所以不能求黑洞平均密度之比．故AC错误，B正确．
D、轨道半径为r₀的各点上对应天体的向心加速度大小为 a=$\frac{\frac{GMm}{{r}^{2}}}{m}$=$\frac{GM}{{r}^{2}}$∝M
由于黑洞的质量不等，所以向心加速度大小不等，故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键要建立物理模型，明确天体向心力的来源，知道万有引力提供向心力，通过列式，由数学知识研究．