Question

11．如图所示，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切与C点，且两者固定不动，一长为L=1.25m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m₁为0.4kg的小球，当小球m₁在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零，现将小球m₁提起使细绳处于水平位置时无初速度释放，当小球m₁摆至最低点时，细绳恰好被拉断，此时小球m₁恰好与放在桌面上的质量m₂为0.6kg的小球发生弹性正碰，m₂将沿半圆形轨道运动，两小球均可视为质点，取g=10m/s²，求：
（1）细绳所能承受的最大拉力是多大？
（2）m₂在半圆形轨道最低点C点的速度为多大？
（3）为了保证m₂在半圆形轨道中运动时不脱离轨道，试讨论半圆形轨道的半径R应该满足的条件．

Answer 1

分析 （1）球m₁摆至最低点的过程中，根据机械能守恒定律求出到最低点时的速度，由牛顿第二定律即可求出绳子的拉力；
（2）碰撞过程，根据动量守恒列式求碰后m₂的速度．
（3）m₂沿半圆形轨道运动可能有两种情况：①．恰好能通过最高点，说明小球到达最高点时小球的重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球到达最高点点的速度，由机械能守恒定律可以求出半径R应该满足的条件；
②．小球m₂不能到达最高点，则小球不脱离轨道时，恰好到达与O等高处，由机械能守恒定律可以求出半径R应该满足的条件．

解答 解：（1）设小球摆至最低点时速度为v₀，由机械能守恒定律，得：
${m}_{1}gL=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
小球在最低点时，由牛顿第二定律，得：${F}_{T}-{m}_{1}g=\frac{{m}_{1}{v}_{0}^{2}}{L}$
解得：F_T=12N
（2）m₁与m₂发生弹性碰撞，动量与机械能守恒，设m₁、m₂碰后的速度分别为v₁、v₂，选向右的方向为正方向，则：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
由动能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入数据联立解得：v₂=4m/s
（3）①若小球恰好通过最高点D点，由牛顿第二定律，得：${m}_{2}g=\frac{{m}_{2}{v}_{D}^{2}}{{R}_{1}}$
m₂在CD轨道上运动时，由机械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{2}g（2{R}_{1}）+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{D}}^{2}$
解得：R₁=0.32 m
②若小球恰好到达圆轨道与圆心等高处速度减为0，则有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}={m}_{2}g{R}_{2}$
解得：R₂=0.8 m
综上：R应该满足R≤0.32 m或R≥0.8m
答：（1）细绳所能承受的最大拉力是12N；
（2）m₂在半圆形轨道最低点C点的速度为4m/s；
（3）为了保证m₂在半圆形轨道中运动时不脱离轨道，半圆形轨道的半径R应该满足R≤0.32 m或R≥0.8m．

点评 本题主要考查了动量守恒、机械能守恒定律、向心力公式的应用，要知道小球恰好通过最高点时，由重力提供向心力．