Question

11．如图，AB是一根带铰链的轻质细杆，呈水平状态；三段轻绳的结点为B，轻绳L₁与AB的夹角α=30°，其一段固定于墙壁上的C点，另一端系于B点，细绳L₂的一端跨过定滑轮与原长为l₀=12cm、劲度系数为k=400N/m的弹簧相连，弹簧另一端连接物体M，物体M静止于倾角为θ=37°，摩擦因数μ=0.5的斜面上，斜面固定于一个机械平台H上，平台的高度以及离墙竖直壁的距离均可以通过平台调节；细绳L₃下端挂有质量m_p=4kg的重物P．当调节平台，使a=β时，轻质细杆AB的上的弹力恰好为零．

（1）求此时细绳L₂上的拉力大小以及弹簧的长度．
（2）要使物块M静止在斜面上，则物体M质量的取值范围；
（3）把物体M固定于斜面，在保证结点B的位置不变且轻质细杆AB弹力仍恰好为零的情况下，通过调节平台可使细绳L₂的拉力最小．求此时细绳L₂对结点B的拉力．

Answer 1

分析 （1）a=β时细绳L₁和L₂上的拉力大小相等，由平衡条件求拉力大小．由胡克定律求弹簧伸长的长度，再加上原长得到弹簧的长度．
（2）当物体摩擦力方向沿斜面向下且达到最大时，M的质量达最大值．当物体摩擦力方向沿斜面向上且达到最大时，M的质量达最小值．由平衡条件求解．
（3）根据三角形定则判断出来：当两条细绳相互垂直时L₂的拉力最小，由平衡条件求解．

解答 解：（1）由于a=β，由受力分析可得L₁和L₂上的拉力大小相等，即 T₁=T₂，由于L₁和L₂的夹角为120°，则得 T₁=T₂=m_pg=40N
弹簧的弹力 F=T₂=40N
根据胡克定律：F=kx，得 x=0.1m
则弹簧的长度为 l=l₀+x=0.12+0.1=0.22m=22cm
（2）当物体所受的摩擦力方向沿斜面向下且恰好达到最大静摩擦时，设此时物体的质量为m₁．则有
  T₂=μm₁gcosθ+m₁gsinθ
解得 m₁=4kg
当物体所受的摩擦力方向沿斜面向上且恰好达到最大静摩擦时，设此时物体的质量为m₂．则有
  T₂+μm₂gcosθ=m₂gsinθ
解得 m₂=20kg
故物体M质量的取值范围为 4kg≤M≤20kg
（3）根据三角形定则可知，当两条细绳相互垂直时，即β=60°时L₂的拉力最小
最小拉力为 T_2min=m_Pgcos30°=20$\sqrt{3}$N
答：
（1）此时细绳L₂上的拉力大小是40N，弹簧的长度是22cm．
（2）物体M质量的取值范围为 4kg≤M≤20kg．
（3）此时细绳L₂对结点B的拉力是20$\sqrt{3}$N．

点评 本题关键是找出物体M恰好不上滑和恰好不下滑的临界状态，然后根据共点力平衡条件列式求解．